Pembahasan Soal TKA Matematika SMA/SMK: Fungsi Komposisi

Pelajari soal TKA matematika SMA dan pembahasan materi fungsi komposisi kontekstual di sini. Dilengkapi trik analisis cepat & latihan soal tes kemampuan akademik

Setelah menguasai konsep fungsi linear dan invers↝ , materi selanjutnya yang diujikan dalam dalam Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika SMA/SMK adalah fungsi komposisi. Pada soal standar Kemendikdasmen terbaru, fungsi komposisi disajikan lewat soal cerita yang berlapis (multi-tahap).

Elemen Aljabar dan Fungsi menuntut kamu memiliki kemampuan bernalar tingkat tinggi untuk mengidentifikasi syarat penggabungan dua fungsi. Kasus nyata seperti perhitungan diskon ganda (diskon berantai) di tempat les atau pusat perbelanjaan adalah contoh konkret penerapan materi ini.

Mari kita bedah konsep dasar dan aturan main fungsi komposisi agar kamu bisa memetakan informasi soal dengan cepat dan akurat!

Konsep Singkat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi pada dasarnya adalah memasukkan suatu fungsi ke dalam fungsi lainnya secara berurutan.

Berikut adalah ringkasan materi Fungsi Komposisi dan Sifat-Sifatnya yang bisa kamu pelajari.

1. Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah penggabungan dua fungsi atau lebih secara berurutan untuk menghasilkan fungsi baru. Jika ada fungsi $f$ dan $g$, maka komposisi keduanya ditulis dengan lambang $\circ$ (dibaca: “bundaran” atau “komposisi”).

• ( $f \circ g$ )(x) bermakna fungsi $g(x)$ dimasukkan ke dalam fungsi $f(x)$. $$(f \circ g)(x) = f(g(x))$$
• ( $g \circ f$ )(x) bermakna fungsi $f(x)$ dimasukkan ke dalam fungsi $g(x)$. $$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$

2. Syarat Agar Fungsi Komposisi Terdefinisi

Tidak semua fungsi bisa dikomposisikan. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ hanya akan terdefinisi (memiliki nilai) jika: $$R_g \cap D_f \neq \emptyset$$ Artinya: Irisan antara daerah hasil (range) fungsi $g$ dengan daerah asal (domain) fungsi $f$ bukanlah himpunan kosong. [9]

3. Sifat-Sifat Fungsi Komposisi

4. Rumus Cepat Menentukan Fungsi Penyusun

Seringkali dalam soal, fungsi komposisi diketahui, tetapi salah satu fungsi penyusunnya dicari:

• Mencari fungsi luar $f(x)$ jika $(f \circ g)(x)$ dan $g(x)$ diketahui: Gunakan metode misalkan $u = g(x)$, lalu substitusikan nilainya.
• Mencari fungsi dalam $g(x)$ jika $(f \circ g)(x)$ dan $f(x)$ diketahui: Masukkan langsung $g(x)$ ke dalam rumus $f(x)$, lalu gunakan aljabar biasa untuk mengisolasi $g(x)$.

5. Fungsi Bersyarat (Piecewise Function)

Sering kali, fungsi tahapan kedua memiliki aturan yang berbeda-beda tergantung pada nilai atau kriteria inputnya. Fungsi seperti ini disebut fungsi bersyarat, contohnya: $$g(y) = \begin{cases} 0,7y, & \text{jika memenuhi syarat A} \\ 0,8y, & \text{jika memenuhi syarat B} \end{cases}$$ Langkah penyelesaian untuk jenis soal kontekstual berlapis:

• Temukan konstanta atau nilai dasar tersembunyi dengan memanfaatkan informasi tokoh yang sudah diketahui biayanya/kondisinya.
• Tentukan fungsi biaya atau aturan yang berlaku untuk tokoh-tokoh berikutnya berdasarkan posisi urutan atau kriteria nilai mereka.
• Hitung hasil komposisi secara bertahap untuk masing-masing individu lalu bandingkan dengan batasan yang ada pada soal.

Pembahasan Soal TKA Matematika SMA

Alternatif Penyelesaian ✍️

Diketahui

• Fungsi potongan 50 pendaftar pertama: $y = 0,9x$ ($x$ = biaya mula-mula, $y$ = biaya setelah potongan).
• Pendaftar setelah ke-50 dikenakan harga normal ($x$).
• Fungsi tambahan potongan prestasi: $$g(y) = \begin{cases} 0,7y, & \text{jika nilai rapor } > 90 \\ 0,8y, & \text{jika nilai rapor } 85-90 \end{cases}$$
  • Fira (pendaftar ke-50) membayar biaya akhir = Rp180.000,00.
• Data 4 siswa baru (pendaftar setelah ke-50):
  • Andi: Nilai = 90, Uang = Rp285.000,00
  • Budi: Nilai = 92, Uang = Rp286.000,00
  • Cici: Nilai = 89, Uang = Rp280.000,00
  • Dini: Nilai = 95, Uang = Rp287.000,00

Ditanya

• Sipakah siswa yang pasti dapat mengikuti kursus berdasarkan uang yang dimiliki?

Solusi/Langkah Penyelesaian

• Menentukan harga normal $(x)$ dari data Fira: $$\begin{aligned} y &= 0,9x \\ 180.000 &= 0,9x \\ x &= \frac{180.000}{0,9} \\ x &= 200.000 \end{aligned}$$ Harga normal kursus adalah Rp200.000,00.

• Perhatikan harga normal saja Rp 200.000, dan keempat anak uangnya lebih dari Rp 200.000. Tanpa perlu menghitung persentase diskon rapor mereka satu per satu, secara logika mereka berempat sudah pasti bisa membayar kursus tersebut karena uang mereka jauh melebihi harga maksimal (harga normal).

Jadi, semua siswa tersebut pasti dapat mengikuti kursus. Jawaban yang tepat adalah D. Dini, Cici, Budi dan Andi.

Latihan Soal TKA/AKM Fungsi Komposisi

Coba kerjakan latihan soal fungsi komposisi bertingkat berikut untuk menajamkan kemampuan analisismu:

1. Sebuah toko buku memberikan diskon keanggotaan sebesar 10% yang dinyatakan dengan fungsi $f(x) = 0,9x$ (dengan $x$ adalah harga asli buku). Selain itu, dalam rangka ulang tahun toko, setiap pembeli mendapat potongan langsung sebesar Rp5.000,00 setelah diskon keanggotaan yang dinyatakan dengan fungsi $g(y) = y - 5.000$.
   Fungsi komposisi yang menunjukkan total biaya akhir yang harus dibayar oleh seorang anggota toko buku tersebut adalah…

   • A. $(g \circ f)(x) = 0,9x - 4.500$
   • B. $(g \circ f)(x) = 0,9x - 5.000$
   • C. $(f \circ g)(x) = 0,9x - 5.000$
   • D. $(f \circ g)(x) = 0,9x - 4.500$

2. Sebuah toko online menerapkan biaya admin tetap Rp4.000,00 per transaksi yang dimodelkan dengan $f(x) = x + 4.000$ ($x$ adalah harga barang). Toko tersebut sedang mengadakan promo diskon akhir tahun sebesar 20% untuk semua barang, dimodelkan dengan $g(x) = 0,8x$. Toko menetapkan bahwa diskon 20% dihitung dari harga barang terlebih dahulu sebelum ditambah biaya admin.
   Jika seorang pembeli ingin membeli barang dengan harga asli Rp100.000,00, manakah pernyataan berikut yang BENAR?
   (Pilih semua yang sesuai, jawaban lebih dari satu)

   • [ ] Fungsi komposisi yang tepat untuk menghitung total biaya adalah $(f \circ g)(x)$.
   • [ ] Total uang yang harus dibayarkan pembeli tersebut adalah Rp84.000,00.
   • [ ] Jika pembeli hanya memiliki uang Rp80.000,00, maka uangnya cukup untuk membeli barang tersebut.
   • [ ] Fungsi komposisi jika biaya admin dikenakan terlebih dahulu sebelum diskon adalah $(g \circ f)(x) = 0,8x + 3.200$.

3. Restoran “Maju Bersama” memberikan voucher potongan harga Rp20.000,00 (fungsi $f(x) = x - 20.000$). Di saat yang sama, ada diskon menggunakan dompet digital sebesar 15% (fungsi $g(x) = 0,85x$). Restoran membolehkan konsumen memilih urutan penggunaan diskon: menggunakan voucher dulu baru diskon digital, ATAU diskon digital dulu baru menggunakan voucher. Terdapat 4 orang teman yang ingin makan di sana dengan total harga makanan (sebelum diskon) dan jumlah uang bawaan sebagai berikut:

   1. Roni: Total makanan Rp120.000, uang yang dibawa Rp80.000.
   2. Sita: Total makanan Rp100.000, uang yang dibawa Rp70.000.
   3. Tono: Total makanan Rp150.000, uang yang dibawa Rp115.000.

   Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah berdasarkan aturan restoran di atas!

   Pernyataan	Benar / Salah
   1. Supaya mendapat harga paling murah, semua konsumen sebaiknya memilih opsi diskon digital dulu baru dipotong voucher.	[ B / S ]
   2. Dengan memilih strategi urutan diskon yang paling menguntungkan, uang Roni dipastikan cukup untuk membayar makanannya.	[ B / S ]
   3. Tanpa perlu menghitung diskon secara rinci, uang Tono sudah pasti cukup karena uang bawaannya lebih besar dari total makanan setelah dipotong voucher langsung (Rp130.000).	[ B / S ]
   4. Sita tidak akan pernah bisa membayar makanannya dengan opsi urutan diskon mana pun.	[ B / S ]

4. Toko sepatu “Langkah Keren” sedang mengadakan promo besar-besaran untuk menghabiskan stok gudang. Ada dua jenis potongan harga yang ditawarkan kepada pembeli:

   1. Diskon Toko (Fungsi $f(x)$): Potongan langsung sebesar 20% untuk semua jenis sepatu. Fungsi harganya adalah $f(x) = 0,8x$, dengan $x$ adalah harga label sepatu.
   2. Diskon Voucher Member (Fungsi $g(y)$): Potongan harga tambahan sebesar Rp30.000,00 khusus bagi pelanggan yang memiliki kartu member resmi. Fungsi harganya adalah $g(y) = y - 30.000$, dengan $y$ adalah harga setelah diskon toko.

   Pihak toko menetapkan aturan bahwa Diskon Toko (20%) wajib dihitung terlebih dahulu, kemudian hasilnya baru dikurangi oleh Diskon Voucher Member. Tiga orang sahabat yang masing-masing memiliki kartu member ingin membeli sepatu di toko tersebut dengan data berikut:

   Nama Pembeli	Harga Label Sepatu ($x$)	Uang yang Dibawa
   Aris	Rp200.000,00	Rp140.000,00
   Bima	Rp250.000,00	Rp165.000,00
   Candra	Rp300.000,00	Rp215.000,00

   Berdasarkan harga label sepatu dan diskon kombo yang berlaku, pilih pernyataan yang benar! (jawaban lebih dari satu)

   • Harga akhir sepatu yang harus dibayar oleh Aris adalah tepat Rp130.000,00.
   • Sepatu yang ingin dibeli Bima mendapatkan total potongan harga (akumulasi diskon toko dan voucher) sebesar Rp80.000,00.
   • Harga akhir sepatu yang dibeli Candra setelah semua potongan harga adalah Rp210.000,00.
   • Jika seseorang membeli sepatu seharga Rp100.000,00 menggunakan kombo diskon ini, ia cukup membayar Rp50.000,00.

Tips & Trik Cara Hitung Cepat

Agar kamu tidak terjebak dan kehabisan waktu saat menganalisis soal cerita fungsi komposisi:

1. Tentukan Urutan Fungsi (“Dari Belakang ke Depan”)
   Jangan sampai terbalik menyusun fungsi. Ingat prinsip: Proses awal berada di dalam (kanan), proses lanjutan berada di luar (kiri).

   • Contoh:
     Bahan mentah kayu diproses mesin $A$ menjadi kertas setengah jadi, lalu mesin $B$ mengolahnya menjadi buku.
   • Karena mesin $A$ bekerja duluan, rumus komposisinya adalah $(B \circ A)(x) = B(A(x))$.

2. Gunakan Trik “Langsung Substitusi Angka” (Paling Ampuh)
   Jika soal menanyakan nilai akhir berupa angka (bukan rumus), JANGAN gabungkan persamaan aljabarnya terlebih dahulu. Itu membuang waktu.

   Contoh Soal

   Diketahui fungsi $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ dan $g(x) = 3x - 1$. Tentukan nilai dari $(f \circ g)(2)$.

   🟢 Cara Cepat (Langsung Substitusi Angka)

   • masukkan angka $2$ ke fungsi $g(x)$. $$g(2) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = \mathbf{5}$$
   • Masukkan hasil tersebut (angka $5$) ke fungsi luar, $f(x)$. $$\begin{align*}f(5) &= 2(5)^2 - 3(5) + 5 \\ &= 2(25) - 15 + 5\\&= 50 - 15 + 5 = 40 \end{align*}$$ Jadi, nilai dari $(f \circ g)(2) = 40$

3. Trik Eliminasi Pilihan Ganda (Skimming Satuan Akhir)
   Jika Kamu sangat terdesak waktu pada soal pilihan ganda:

   • Lihat konstanta atau operasi terakhir pada fungsi luar. Jika fungsi luar dikali bilangan genap, hasil akhirnya kemungkinan besar genap.
   • Uji nilai terkecil yang masuk akal (misal $x = 0$ atau $x = 1$) pada fungsi cerita untuk mengeliminasi opsi jawaban yang nilainya terlalu besar atau terlalu kecil secara logika.

Jika kamu sudah menguasai fungsi komposisi dan invers, selanjutnya kamu bisa pelajari barisan dan deret, bisa baca pembahasan soal TKA Matematika tentang barisan dan deret↝ berikut