Kuasai materi sistem persamaan linear dua & tiga variabel TKA Matematika SMA/SMK dengan trik determinan Cramer super cepat!

Materi Sistem Persamaan Linear merupakan bagian krusial dari elemen Aljabar dalam matriks kerangka resmi Tes Kemampuan Akademik (TKA) Kemendikdasmen. Penguasaan bab ini sangat penting karena konsep persamaannya menjadi fondasi bagi topik-topik lanjut lainnya seperti Program Linear, Matriks, hingga optimasi keuntungan industri. Jika kamu ingin mendapatkan skor tinggi dalam TKA, bab ini adalah poin wajib yang tidak boleh kamu lewatkan!

Kesulitan utama yang sering dihadapi oleh murid saat mengerjakan tipe soal ini adalah metode eliminasi dan substitusi konvensional yang memakan waktu sangat lama dan rentan salah hitung. Membayangkan harus mengeliminasi persamaan tiga variabel satu per satu di kertas buram ujian yang sempit tentu sangat menyiksa. Belum lagi jika ada tanda negatif ($-$) yang terselip, satu kesalahan kecil saja di awal akan membuat seluruh hitungan kamu di langkah berikutnya menjadi berantakan.

Tapi tenang saja, kamu tidak perlu khawatir! Di artikel ini, kita akan membongkar trik superkilat untuk melibas soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) tanpa perlu coret-coret panjang. Dengan memanfaatkan metode determinan Cramer dan trik praktis “Kali Silang Pojok Kiri”, kamu bisa menghemat waktu berharga di ruang ujian! Jangan lupa juga untuk membaca artikel pendukung kita tentang Trik Memodelkan Sistem Pertidaksamaan Linear↝ agar persiapan belajarmu semakin mantap.

Daftar Isi

Konsep Singkat Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki variabel-variabel yang sama. Hubungan nilai antar variabel tersebut saling mengikat, sehingga kita harus mencari nilai numerik dari setiap variabel agar memenuhi seluruh persamaan dalam sistem tersebut secara serempak.

1.SPLDV

SPLDV adalah kumpulan dua persamaan linear yang memiliki dua variabel berpangkat satu (biasanya $x$ dan $y$). Grafik dari kedua persamaan ini berupa dua garis lurus, dan solusi dari SPLDV adalah titik potong dari kedua garis tersebut.

📐 Bentuk Umum

$$\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}$$)$$

  • $x, y$: Variabel yang dicari nilainya.
  • $a, b$: Koefisien angka di depan variabel.
  • $c$: Konstanta di ruas kanan.

2. SPLTV

SPLTV adalah kumpulan tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel (biasanya $x$, $y$, dan $z$). Ketiga variabel tersebut berpangkat satu dan saling berkaitan untuk membentuk satu solusi unik. [1, 2, 3, 4, 5]

📐 Bentuk Umum SPLTV

Setiap persamaan dalam SPLTV ditulis dalam bentuk: $$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$

  • $x, y, z$: Variabel (nilai yang dicari).
  • $a, b, c$: Koefisien (angka di depan variabel).
  • $d$: Konstanta (angka suku tetap di ruas kanan). [6, 7]

3. 🛠️ Metode Penyelesaian Utama

  • Metode Eliminasi: Menghilangkan salah satu variabel secara berpasangan hingga tersisa sistem dua variabel (SPLDV).
  • Metode Substitusi: Mengubah satu persamaan menjadi bentuk eksplisit (misal $x = …$) lalu memasukkannya ke persamaan lain.
  • Metode Campuran (Paling Sering Dipakai): Menggabungkan eliminasi untuk menyederhanakan soal, lalu menggunakan substitusi untuk menemukan nilai akhir.

4. Metode Determinan Cramer (Aturan Cramer)

Metode determinan Cramer sangat cocok digunakan untuk tipe soal pilihan ganda karena langkah-langkah pengerjaannya sangat pasti dan terstruktur tanpa perlu menebak variabel mana yang harus dieliminasi terlebih dahulu.

Untuk bentuk umum SPLDV: $$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

Nilai $x$ dan $y$ dapat dicari secara langsung menggunakan rumus perbandingan determinan matriks: $$x = \frac{D_x}{D} \quad \text{dan} \quad y = \frac{D_y}{D}$$

Di mana matriks determinan utama ($D$), determinan variabel $x$ ($D_x$), dan determinan variabel $y$ ($D_y$) didefinisikan sebagai: $$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - b_1a_2$$ $$D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - b_1c_2$$ $$D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - c_1a_2$$

4. Trik Superkilat Kali Silang Pojok Kiri

Jika kamu merasa menghitung determinan matriks terlalu formal, ada rumus praktis “Kali Silang” yang dimodifikasi oleh Pak Anang untuk mencari nilai variabel dalam hitungan detik.

Syarat utamanya: Letakkan variabel yang ingin kamu cari di pojok paling kiri persamaan!

Misalkan kita ingin mencari nilai $x$ dari sistem: $$\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 3x + 5y = 11 \end{cases}$$

Karena variabel $x$ sudah berada di pojok kiri, kita langsung jadikan koefisien $y$ (yaitu $-3$) sebagai acuan:

  1. Langkah Atas (Pembilang): Kalikan acuan ($-3$) dengan konstanta bawah ($11$), lalu kurangi dengan hasil kali konstanta atas ($1$) dengan koefisien $y$ bawah ($5$). $$(-3)(11) - (1)(5) = -33 - 5 = -38$$
  2. Langkah Bawah (Penyebut): Kalikan acuan ($-3$) dengan koefisien $x$ bawah ($3$), lalu kurangi dengan hasil kali koefisien $x$ atas ($2$) dengan koefisien $y$ bawah ($5$). $$(-3)(3) - (2)(5) = -9 - 10 = -19$$
  3. Hasil Akhir: Bagikan hasil pembilang dengan penyebut. $$x = \frac{-38}{-19} = 2$$

Sangat cepat dan instan, bukan? Jika ingin mencari variabel $y$ dengan trik yang sama, kamu tinggal menukar posisi kolom sehingga variabel $y$ berada di pojok kiri terlebih dahulu!

Pembahasan Soal TKA Matematika SMA

✅ Soal TKA Kemendikdasmen 2025

Bu Silma adalah seorang perangkai bunga yang disusun dalam buket bunga. Di tokonya, ia memiliki bunga mawar, lili, dan anyelir. Harga buket ditentukan dari total harga bunga yang digunakan dalam buket tersebut. Adapun tiga jenis buket yang biasa ia siapkan dengan komposisi ketiga bunga beserta harga per buketnya diberikan pada gambar berikut.

Buket Bunga Bu Silma

Bila seorang pembeli ingin membeli buket bunga tipe C namun ingin menambah 2 tangkai lili dan 1 tangkai anyelir dengan harga satuan, maka total harga yang harus dibayar pembeli tersebut adalah ….

  • A. Rp75.000,00
  • B. Rp102.000,00
  • C. Rp110.000,00
  • D. Rp115.000,00
  • E. Rp116.000,00

Alternatif Penyelesaian ✍️

misalkan

  • $m$ harga 1 tangkai mawar
  • $l$ harga 1 tangkai lili
  • $a$ harga 1 tangkai anyelir

model persamaannya menjadi.

  • $2m + 3l + a = 85.000$
  • $m + 2l + 2a = 70.000$
  • $3m + l + a = 75.000$

ditanya: $\text{Paket C} + 2l + a$ …? bisa kita rubah menjadi $$ 3m+3l+2a = \cdots ? $$

tanpa harus mencari nilai satu-satu kita bisa menggunakan analogi jumlahkan ketiga buket lalu bagi 2 nanti ketemu hasil yang ditanya

Jika kita jumlahkan ketiga persamaan buket yang diketahui: $$\begin{aligned} (2m + 3l + a) &= 85.000 \\ (m + 2l + 2a) &= 70.000 \\ (3m + l + a) &= 75.000 \\ \hline 6m + 6l + 4a &= 230.000 \quad \text{(+)} \end{aligned}$$ Sekarang, perhatikan pola antara Hasil Penumlahan dengan Bentuk yang Ditanya:

  • Hasil penjumlahan: $6m + 6l + 4a$
  • Bentuk yang ditanya: $3m + 3l + 2a$

Jika hasil penjumlahan kita bagi 2 pada kedua ruasnya: $$\frac{6m + 6l + 4a}{2} = \frac{230.000}{2}$$ $$3m + 3l + 2a = 115.000$$

Jadi, total harga yang harus dibayar pembeli adalah Rp115.000,00.

Latihan Soal TKA (Uji Pemahamanmu)

Berikut adalah contoh soal dirancang khusus agar kamu bisa lebih lancar menyelesaikan sistem persamaan linear

  1. Seorang mandor bangunan membeli dua jenis bahan perekat untuk renovasi dinding, yaitu Semen Instan dan Kompon Perekat.

    • Pembelian pertama: 3 sak semen instan dan 4 kantong kompon seharga Rp310.000,00.
    • Pembelian kedua: 4 sak semen instan dan 3 kantong kompon seharga Rp320.000,00.

    Mandor tersebut membutuhkan tambahan 1 sak semen instan dan 1 kantong kompon untuk menyelesaikan bagian sudut ruangan. Total biaya tambahan yang harus dikeluarkan mandor tersebut ($x + y$) adalah ….

    • A. Rp80.000,00
    • B. Rp90.000,00
    • C. Rp10.000,00
    • D. Rp105.000,00
    • E. Rp110.000,00

  2. Sebuah yayasan sosial menyediakan tiga jenis paket sembako harian yang berisi Beras ($b$), Minyak Goreng ($m$), dan Gula Pasir ($g$) dengan rincian harga sebagai berikut:

    • Paket Sumbu: $2b + 3m + g = \text{Rp}80.000,00$
    • Paket Pilar: $b + 2m + 2g = \text{Rp}65.000,00$
    • Paket Fondasi: $3b + m + g = \text{Rp}75.000,00$

    Seorang donatur ingin memesan Paket Khusus yang berisi kombinasi $2b + 2m + g$. Biaya yang harus dibayarkan oleh donatur untuk Paket Khusus tersebut adalah ….

    • A. Rp65.000,00
    • B. Rp70.000,00
    • C. Rp73.333,00
    • D. Rp75.000,00
    • E. Rp80.000,00

  3. Sebuah rombongan keluarga membeli tiket masuk wahana bermain yang terdiri dari tiket Anak-anak ($a$), Dewasa ($d$), dan Lansia ($l$).

    • Rombongan A membayar Rp120.000,00 untuk: $3a + d + 2l$
    • Rombongan B membayar Rp150.000,00 untuk: $a + 3d + 2l$
    • Rombongan C membayar Rp130.000,00 untuk: $2a + 2d + 2l$

    Jika rombongan D datang membawa kombinasi anggota keluarga berupa $2a + 2d + 2l$ (setara dengan 2 paket berisi masing-masing 1 Anak, 1 Dewasa, dan 1 Lansia), maka biaya total untuk 1 tiket Anak + 1 tiket Dewasa + 1 tiket Lansia ($a + d + l$) adalah ….

    • A. Rp50.000,00
    • B. Rp60.000,00
    • C. Rp65.000,00
    • D. Rp70.000,00
    • E. Rp80.000,00

  4. Dua orang koki, Koki Linda dan Koki Doni, membeli bahan yang sama untuk membuat menu kue bolu di sebuah toko bahan kue:

    • Koki Linda membeli 5 kg tepung terigu ($x$) dan 3 kg gula pasiran ($y$) dengan total harga Rp95.000,00.
    • Koki Doni membeli 3 kg tepung terigu ($x$) dan 5 kg gula pasiran ($y$) dengan total harga Rp89.000,00.

    Berdasarkan data pembelian di atas, manakah kombinasi matematika berikut yang benar? (Pilihlah semua pernyataan yang benar, jawaban benar lebih dari satu)

    • Model matematika dari pembelian Koki Linda adalah $3x + 5y = 95.000$.
    • Jika seorang asisten koki ingin membeli 8 kg tepung terigu dan 8 kg gula pasiran, total uang yang harus dibayarkan adalah Rp184.000,00.
    • Harga untuk kombinasi 1 kg tepung terigu dan 1 kg gula pasiran ($x + y$) adalah Rp23.000,00.
    • Selisih harga antara 1 kg tepung terigu dengan 1 kg gula pasiran ($x - y$) adalah Rp3.000,00.
    • Harga tepung terigu ($x$) lebih murah dibandingkan harga gula pasiran ($y$).

  5. Sebuah toko pertanian menjual tiga jenis pupuk organik dalam bentuk paket campuran: Paket Hemat, Paket Subur, dan Paket Premium. Setiap paket berisi kombinasi Pupuk A ($a$), Pupuk B ($b$), dan Pupuk C ($c$) dengan rincian harga berikut:

    • Paket Hemat ($a + 2b + 3c$) seharga Rp110.000,00
    • Paket Subur ($2a + 3b + c$) seharga Rp125.000,00
    • Paket Premium ($3a + b + 2c$) seharga Rp140.000,00

    Seorang petani ingin menganalisis pengeluaran tanpa perlu membongkar harga satuan per jenis pupuk tersebut. Pertanyaan: Berdasarkan harga paket di toko pertanian tersebut, tentukan apakah setiap pernyataan berikut Benar atau Salah!

    No.PernyataanBenar / Salah
    1.Jika total komposisi dari ketiga paket digabungkan seluruhnya, maka rasio jumlah pupuk A, B, dan C yang terbeli adalah sama besar ($6a + 6b + 6c$).[ Benar / Salah ]
    2.Total biaya yang harus dikeluarkan jika seorang petani membeli masing-masing 1 unit dari ketiga jenis pupuk tersebut ($a + b + c$) adalah Rp62.500,00.[ Benar / Salah ]
    3.Petani dapat menyusun sebuah paket baru seharga Rp187.500,00 yang berisi kombinasi $3a + 3b + 3c$.[ Benar / Salah ]
    4.Selisih harga antara Paket Premium dengan Paket Hemat setara dengan harga kombinasi dari ($2a - b - c$).[ Benar / Salah ]